01A. 数字系统与二进制编码基础与运算

1. 数字信号与数字系统基础

信号 (Signal): 用于表示和传递信息的物理量。
- 模拟信号 (Analog Signal): 幅度和频率连续变化的波形。
- 数字信号 (Digital Signal): 只有 ON (1) 和 OFF (0) 两种状态的离散波形。
比特 (Bit): 二进制数字 (binary digit) 的缩写，是信息的基本单位。
- 1: 代表高电平 (HIGH) 或真 (TRUE)。
- 0: 代表低电平 (LOW) 或假 (FALSE)。
逻辑电平 (Logic Levels): 在电路中，用一个电压范围来表示 0 和 1，例如 $0V \sim 0.8V$ 为低电平， $2V \sim 5V$ 为高电平。

2. 核心数制及其转换

数字系统中常用的数制包括十进制 (Decimal, base-10)、二进制 (Binary, base-2)、八进制 (Octal, base-8) 和十六进制 (Hexadecimal, base-16)。

2.1. 任意进制 (Radix-r) 转换为十进制

核心方法：按权展开求和 (Positional Number System)。一个具有 $n$ 位整数和 $m$ 位小数的 $r$ 进制数，其值为： $V = \sum_{i=-m}^{n-1} d_i \times r^i$ 其中 $d_i$ 是该数位上的数字， $r$ 是基数 (Radix)，小数点左侧第一位是 $i=0$ ，右侧第一位是 $i=-1$ 。

最高有效位 (Most-Significant Digit, MSD): 最左边的数字。
最低有效位 (Least-Significant Digit, LSD): 最右边的数字。

【用例】 将二进制数 $(101.01)_2$ 转换为十进制：

(101.01)_2 = 1 \times 2^2 + 0 \times 2^1 + 1 \times 2^0 + 0 \times 2^{-1} + 1 \times 2^{-2} \\ = 4 + 0 + 1 + 0 + 0.25 \\ = (5.25)_{10}

2.2. 十进制转换为任意进制 (Radix-r)

核心方法：整数部分和小数部分分开处理。

整数部分：除基取余法
- 将十进制整数反复除以目标基数 $r$ 。
- 每次的余数作为新数制的一位，直到商为 0。
- 注意：将余数从下往上（从最后一次的余数到第一次的余数）排列，即为转换结果（从 MSB 到 LSB）。
小数部分：乘基取整法
- 将十进制小数反复乘以目标基数 $r$ 。
- 每次的整数部分作为新数制的一位，取剩下的小数部分继续。
- 注意：将整数从上往下（从第一次的整数到最后一次的整数）排列，即为转换结果（从 MSB 到 LSB）。

【用例】 将十进制数 $(35.375)_{10}$ 转换为二进制：

整数部分 (35):
- $35 \div 2 = 17 \dots\dots 1$ (LSB)
- $17 \div 2 = 8 \dots\dots 1$
- $8 \div 2 = 4 \dots\dots 0$
- $4 \div 2 = 2 \dots\dots 0$
- $2 \div 2 = 1 \dots\dots 0$
- $1 \div 2 = 0 \dots\dots 1$ (MSB)
- 结果 (从下往上读): $(100011)_2$
小数部分 (0.375):
- $0.375 \times 2 = 0.75 \to$ 整数部分为 0 (MSB)
- $0.75 \times 2 = 1.5 \to$ 整数部分为 1
- $0.5 \times 2 = 1.0 \to$ 整数部分为 1 (LSB)
- 结果 (从上往下读): $(0.011)_2$
最终结果: $(35.375)_{10} = (100011.011)_2$

2.3. 二、八、十六进制间的快速转换

核心方法：利用 $2^3=8$ 和 $2^4=16$ 的关系进行分组转换。

二进制 $\leftrightarrow$ 八进制:
- 以小数点为界，整数部分向左、小数部分向右，每 3 位二进制数分为一组，不足 3 位的用 0 补齐。
- 每组独立转换为一位八进制数。
二进制 $\leftrightarrow$ 十六进制:
- 以小数点为界，整数部分向左、小数部分向右，每 4 位二进制数分为一组，不足 4 位的用 0 补齐。
- 每组独立转换为一位十六进制数。
八进制 $\leftrightarrow$ 十六进制:
- 先转换为二进制作为中间步骤。

【用例】 将 $(10110.01)_2$ 转换为八进制和十六进制：

\begin{array}{c|c|c} \text{补零分组 (八进制)} & (\underline{010}\ \underline{110} . \underline{010})_2 & \text{结果} \\ \hline \text{转换} & (2\ 6 . 2)_8 & (26.2)_8 \\ \end{array}

\begin{array}{c|c|c} \text{补零分组 (十六进制)} & (\underline{0001}\ \underline{0110} . \underline{0100})_2 & \text{结果} \\ \hline \text{转换} & (1\ 6 . 4)_{16} & (16.4)_{16} \\ \end{array}

3. 二进制运算与补码

3.1. 二进制加减法

加法: 与十进制加法类似，逢二进一。
减法: 与十进制减法类似，需要向高位借位。但电路实现复杂。

3.2. 补码 (Complement)

核心目的：将减法运算转换为加法运算，从而简化计算机硬件设计。

进制	类型	中文名	定义 ( $N$ 为数值, $n$ 为位数, $r$ 为基数)	快速求法
二进制	(r-1)'s	反码 (1's Complement)	$2^n - 1 - N$	各位取反 (0 变 1，1 变 0)
	r's	补码 (2's Complement)	$2^n - N$	反码加一或从右向左找到第一个 1，该 1 及其右边不变，左边各位取反
十进制	(r-1)'s	9's Complement	$10^n - 1 - N$	用 $n$ 个 9 减去原数
	r's	10's Complement	$10^n - N$	9's Complement 加一

【重点】二的补码 (2's Complement) 求法 对于二进制数 10110000:

方法一 (反码加一):
- 反码: 01001111
- 加一: 01001111 + 1 = 01010000
方法二 (保留首个 1):
- 从右向左找到第一个 1: 1011**0000**
- 该 1 及其右边的位保持不变: ....**0000** (错误，应为 10000)
- 正确应为：从右向左，遇到的第一个 1 及其右边的所有位保持不变，该 1 左边的所有位取反。
- 10110000 -> 从右向左第一个 1 在第 5 位。
- 101 10000 -> 10000 不变，101 取反为 010。
- 结果: 01010000

3.3. 使用补码进行减法

核心算法: $M - N = M + (-N)_{\text{补}}$

前提: $M$ 和 $N$ 必须有相同的位数，不足则在高位补 0。
步骤:
1. 求减数 $N$ 的补码（通常是 2's complement）。
2. 被减数 $M$ 加上 $N$ 的补码。
3. 根据结果判断：
  - 如果产生最高位进位 (End Carry)，则舍弃该进位，结果为正。
  - 如果没有最高位进位，则结果为负，其值为对当前结果再次求补码。

【用例】 使用 7 位二进制数和 2's complement 计算 $X-Y$ 和 $Y-X$ ，其中 $X = (1010100)_2$ , $Y = (1000011)_2$ 。

计算 $X - Y$ ( $M \ge N$ ):
1. $Y$ $Y$ 的 2's complement:
  - $Y$ 的反码: 0111100
  - $Y$ 的补码: 0111101
2. 相加: $\begin{array}{rc} & 1010100 & (X) \\ + & 0111101 & (Y\text{的补码}) \\ \hline \mathbf{1} & 0010001 & \end{array}$
3. 结果：有最高位进位 1，舍弃。结果为正，即 $(0010001)_2$ 。
计算 $Y - X$ ( $M < N$ ):
1. $X$ $X$ 的 2's complement:
  - $X$ 的反码: 0101011
  - $X$ 的补码: 0101100
2. 相加: $\begin{array}{rc} & 1000011 & (Y) \\ + & 0101100 & (X\text{的补码}) \\ \hline \mathbf{0} & 1101111 & \end{array}$
3. 结果：无最高位进位。结果为负，其大小需对 1101111 再次求 2's complement。
  - 1101111 的反码: 0010000
  - 加一: 0010001
4. 最终结果为 $-(0010001)_2$ 。

4. 带符号二进制数表示法

为了在二进制中表示正负数，通常将最高有效位 (MSB) 作为符号位：

0: 正数
1: 负数

【重点】三种带符号数表示法的对比 (以 8 位为例)

表示法	正数表示 (+X)	负数表示 (-X)	特点
原码 (Sign-Magnitude)	符号位为 0，其余位为数值的绝对值。	符号位为 1，其余位为数值的绝对值。	- 直观，但加减法规则复杂。 - 有两个 0 的表示 (`+0` 和 `-0`)。
反码 (Signed-1's Complement)	与原码相同。	符号位为 1，其余位为数值绝对值的反码。	- 加减法比原码简单。 - 仍有两个 0 的表示 (`+0` 和 `-0`)。
补码 (Signed-2's Complement)	与原码相同。	符号位为 1，其余位为数值绝对值的补码。	- 加减法统一，硬件实现最简单。 - 只有一个 0 的表示。 - 表示范围比原码和反码多一个负数。

【用例】 用 8 位二进制表示 $\pm 105$ $(105)_{10} = (1101001)_2$

正数 $(+105)_{10}$ : 三种表示法都相同
- 01101001
负数 $(-105)_{10}$ :
- 原码: 11101001 (符号位变 1)
- 反码: 10010110 (数值位 1101001 取反)
- 补码: 10010111 (反码 10010110 加 1)

为什么现代计算机普遍使用补码？

特性	原码	反码	补码
加法运算	规则复杂	规则复杂 (需循环进位)	规则统一，可直接相加
0 的表示	`0000` 和 `1000`	`0000` 和 `1111`	唯一 `0000`
N 位表示范围	$[-(2^{N-1}-1), 2^{N-1}-1]$	$[-(2^{N-1}-1), 2^{N-1}-1]$	$[-2^{N-1}, 2^{N-1}-1]$

5. 其他二进制编码

5.1. BCD 码 (Binary-Coded Decimal)

定义: 用 4 位二进制数来表示一位十进制数 (0-9)。也称 8421 码。
特点:
- 0011 1001 0110 代表十进制数 396。
- 4 位二进制组合 1010 到 1111 是无效的 BCD 码。
BCD 加法:
1. 按二进制加法规则对位。
2. 如果任意一组 4 位数的结果大于 9，或者产生了向高一组的进位，则该组需要修正。
3. 修正方法: 对该组加 6 (即 0110 )。
  - 原因: 二进制加法是逢 16 进位，而 BCD 码需要逢 10 进位，加 6 是为了跳过 6 个无效状态，从而实现正确的进位。

【用例】 计算 $184 + 576$ 的 BCD 码

\begin{array}{rcccl} & 0001 & 1000 & 0100 & (184) \\ + & 0101 & 0111 & 0110 & (576) \\ \hline & 0111 & \mathbf{10000} & \mathbf{1010} & \text{二进制和} \\ \text{修正} & & \uparrow & \uparrow & \\ & & \text{有进位} & >9 & \\ + & & 0110 & 0110 & \text{加6修正} \\ \hline & \mathbf{0111} & \mathbf{0110} & \mathbf{0000} & \text{最终结果} \\ & \downarrow & \downarrow & \downarrow & \\ & 7 & 6 & 0 & (760) \end{array}

5.2. 格雷码 (Gray Code)

特点: 相邻两个数值之间只有一位二进制数不同。
应用: 减少数据转换过程中的瞬时错误、低功耗设计、模拟数据编码。

5.3. ASCII 码

全称: American Standard Code for Information Interchange (美国信息交换标准代码)。
用途: 用一个唯一的二进制数（通常是 7 位）表示数字、字母、标点符号和控制字符，共 128 个。

5.4. 奇偶校验码 (Error-Detecting Code)

目的: 检测数据在传输或存储过程中是否发生错误。
方法: 在原始数据上附加一位校验位 (Parity Bit)。
- 偶校验 (Even Parity): 附加一位，使得整个编码中 1 的个数为偶数。
- 奇校验 (Odd Parity): 附加一位，使得整个编码中 1 的个数为奇数。
局限性: 只能检测出奇数个位的错误，无法检测出偶数个位的错误，也无法纠正错误。

6. 二进制逻辑入门

定义: 处理只有两个值（0和1）的变量的逻辑体系。
基本逻辑运算:

运算	符号	描述	逻辑门	真值表 (A, B 为输入, Y 为输出)
与 (AND)	$\cdot$ 或省略	所有输入为 1，输出才为 1	与门	`A=0, B=0, Y=0` `A=0, B=1, Y=0` `A=1, B=0, Y=0` `A=1, B=1, Y=1`
或 (OR)	$+$	任一输入为 1，输出就为 1	或门	`A=0, B=0, Y=0` `A=0, B=1, Y=1` `A=1, B=0, Y=1` `A=1, B=1, Y=1`
非 (NOT)	$'$ 或 $\overline{A}$	输入与输出相反	非门	`A=0, Y=1` `A=1, Y=0`

1. 数字信号与数字系统基础​

2. 核心数制及其转换​

2.1. 任意进制 (Radix-r) 转换为十进制​

2.2. 十进制转换为任意进制 (Radix-r)​

2.3. 二、八、十六进制间的快速转换​

3. 二进制运算与补码​

3.1. 二进制加减法​

3.2. 补码 (Complement)​

3.3. 使用补码进行减法​

4. 带符号二进制数表示法​

5. 其他二进制编码​

5.1. BCD 码 (Binary-Coded Decimal)​

5.2. 格雷码 (Gray Code)​

5.3. ASCII 码​

5.4. 奇偶校验码 (Error-Detecting Code)​

6. 二进制逻辑入门​